Vorüberlegungen: Vom Speziellen zum Allgemeinen
Auf der ersten Seite hast Du gelernt, dass der zurückgelegte Weg in
einem Diagramm, in dem die Geschwindigkeit gegen die Zeit aufgetragen
ist, gleich dem orientierten Flächeninhalt zwischen dem Graphen und der x-Achse ist.
 Frage
Aber wie kann man diesen orientierten Flächeninhalt denn nun genau bestimmen bzw. berechnen?
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Dies ist die zentrale Frage des vorliegenden Lernpfades!
Um einer Lösung näher zu kommen, fangen wir mit einfachen und sehr
speziellen Graphen von Funktionen an und arbeiten uns ausgehend davon
immer weiter hin zu schwierigeren und allgemeineren Graphen von
Funktionen vor, damit wir am Ende eine Lösung für alle Eventualitäten in
Händen halten!
 Aufgabe 2
Bestimme die Flächeninhalte zwischen den Graphen und der x-Achse innerhalb der angegebenen Grenzen in nachfolgenden Diagrammen.
Beschreibe dabei immer Deine Vorgehensweise!
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a) Konstante Funktion: f(x) = 5 in den Grenzen x1 = 2 und x2 = 6
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b) Lineare, nicht-konstante Funktion: f(x) = 0,5x + 1 in den Grenzen x1 = 2 und x2 = 6
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 Lösung
Flächeninhalt: A = 12.
Die Fläche lässt sich mittels der Trapezformel (mittlere Höhe mal Breite).
Die mittlere Höhe h = ½ ⋅ (y2 + y1) = ½ ⋅ (2 + 4) = 3,
Die Breite ist dabei durch die Grenzen x1 und x2 festgelegt, misst also
x2 − x1 = 6 − 2 = 4.
Also A = 3 ⋅ 4 = 12 .
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Merke:
Allgemein berechnet sich eine solche Trapezfläche nach der Formel  , wenn h die mittlere Höhe des Trapezes und b die Breite des Trapezes ist.
Diese Trapezfläche kann nun interpretiert werden als der Mittelwert der unteren Rechteckfläche (Rechteck ABCD) und der
oberen Rechteckfläche (Rechteck BCEF)!
Seine Fläche entspricht dem Rechteck BCGH.
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c) Ausgehend von den Aufgabenteilen a) und b) sollst Du hier nur eine
Möglichkeit beschreiben, wie man die markierte Fläche zumindest
näherungsweise bestimmen könnte. Dazu soll eine
Funktion dritten Grades als Beispiel für eine Funktion im Allgemeinen
dienen: 
in den Grenzen -8 und 10.
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Lösung
Man könnte die Fläche unter dem Graphen von f in viele schmale Trapeze aufteilen, deren Fläche berechnen und die gesuchte Fläche durch die Summe der Trapezflächen (Trapezsumme) annähern.
Das Ganze sähe dann mit n = 6 gleich breiten Trapezstreifen folgendermaßen aus:
Bei n = 6 berechnet sich die Trapezsumme zu
h ⋅ (½⋅f(−8) + f(−5) + f(−2)+ f(1)+ f(4)+ f(7) + ½ ⋅f(10)) = 3⋅(3,38 + 7,75 + 6,4 + 4,33 + 3,16 + 4,51 + 5 ) = 103,59
Wobei h = (10 − (−8))/6 die Streifenbreite eines Trapezes ist.
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Merke:
Es gilt die Trapezsummenformel (auch Sehnentrapezformel genannt; a ist die untere Intervallgrenze; b ist die obere Intervallgrenze): 
Hinweis:
Bei gleicher Streifenbreite ist der sich ergebende Wert des Trapezsummenverfahrens gleich dem Durchschnittswert aus Ober- und Untersummen.
Man unterscheidet Obersumme (Summen der Rechteckflächen mit dem kleineren Funktionswert. ) und Untersumme (Summen von Rechteckflächen mit dem größeren Funktionswert. ). Die gesuchte Fläche liegt dann zwischen Ober- und Untersumme.
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Frage
Aufgabe 2
Höhe. 
